Вы также можете создать SolidColorBrush с прозрачным цветом:
Это создаст полностью прозрачный цвет
border.Background = new SolidColorBrush(Color.FromArgb(0, 0, 0, 0));
но вы также можете сделать полупрозрачный цвет, изменив альфа (это будет выглядеть как 50% прозрачный красный:
border.Background = new SolidColorBrush(Color.FromArgb(128, 255, 0, 0));