Ваш профессор - тот, кто звучит потерянным.
Начните с одного - не важно, какой.
Веб-сервисы - хорошее место для старта, потому что они основаны на HTTP. Java EE и .NET хорошо понимают HTTP.
Вы должны написать клиент и сервер. Вы можете продемонстрировать взаимодействие между двумя платформами, запустив сервлет Java в качестве сервера, запустив механизм сервлета / JSP, такой как Tomcat, а затем написав клиент .NET, который подключается к серверу и выполняет HTTP-запрос GET или POST и обрабатывает ответ.
Затем поменяйте ролями: напишите сервер .NET SOAP, разверните его на IIS, а затем напишите клиент Java, который делает запрос SOAP и обрабатывает ответ.
Это удовлетворит дух задания и продемонстрирует смысл.