Так как у нас нет функции ParseExact, вам необходимо позиционно проанализировать компоненты метки времени. Вы можете сделать это с помощью функции Copy (). например:
TheMonthAsString := Copy(TwitterDate,5,3);
TheDayAsString := Copy(TwitterDate,9,2);
etc..
Конвертируйте эти части в целые числа, и затем вы можете использовать EncodeDateTime (в блоке DateUtils) (Спасибо, Дженс!) Для генерации TDateTime.
Сводка: выделите строку в отдельные компоненты временной метки и преобразуйте ее в TDateTime, используя EncodeDateTime или StrToDateTime.