Решением моей проблемы было включение NATing на балансировщике нагрузки.
Запрос отправлялся с сервера в ферме на балансировщик нагрузки, а затем балансировщик нагрузки отправлял этот запрос на один из серверов в ферме (возможно, даже на тот же сервер, который его запрашивал). Проблема заключалась в том, что сервер, который обрабатывал запрос, попытался бы отправить ответ непосредственно обратно «запрашивающему клиенту», а не обратно на балансировщик нагрузки, поэтому сервер, который сделал запрос, просто проигнорирует ответ, поскольку отправлено балансировщиком нагрузки. При включении NAT все ответы отправляются обратно в балансировщик нагрузки, а затем балансировщик нагрузки отправляет ответ исходному клиенту.