Ваш серверный код работает под одной учетной записью пользователя, независимо от того, сколько у вас клиентов.Если вы попытаетесь сохранить историю чата на сервере, возможно, перейдите на базу данных или XML.Если вы по-прежнему хотите хранить журналы в нескольких файлах, не беспокойтесь о разрешениях, вы настроите их позже в IIS (опять же только для одной учетной записи).
На стороне клиента код, скорее всего, будет работать подлокальная учетная запись пользователя, которая по умолчанию должна иметь права на запись.