Вывод параметрического параболического уравнения с учетом координат источника и пункта назначения

Question

Для программы звезды появляются в нижней или верхней части экрана в случайном, заранее рассчитанном положении. Звезды перемещаются в заранее определенное место назначения, которое является верхом или низом буквы (в зависимости от того, возникла ли звезда над или под буквой). В настоящее время движение звезды в основном линейное, с небольшим уклоном из некоего домашнего уравнения. Я хотел бы получить твердое параболическое уравнение, в котором звезды достигают своей позиции назначения под углом, который приблизительно перпендикулярен (+ - 20 или около того градусов) к вершине / нижней части буквы назначения. Я позвонил в Calc 3, поэтому я не могу понять, как реализовать параболу для этой проблемы. Я также открыт для совершенно другого способа анимации этих объектов. Помощь приветствуется. Спасибо!

Посторонняя информация: исходное положение звезд никогда не находится прямо над или под буквой, с которой они сталкиваются, и никогда не превышает половины ширины экрана для исходных звезд или 1/3 ширины экрана. для топовых звезд.

Answer 1

Итак, нам нужна парабола с известной вершиной, а также с другой произвольной точкой.

Сначала рассмотрим вершину.На вершине параболы первая производная y-положения равна нулю;d/dx(ax^2 + bx + c) = 2ax + b, поэтому решение для x, когда 2ax + b = 0, у нас есть 2ax = -b => x = -b/2a.Итак, X_a = -b/2a.

Теперь мы можем использовать это для решения либо a, либо b.Итак, a = -b/2X_a.

Мы также знаем координату y для точки вершины: Y_a = (-b/2X_a)X_a^2 + bX_a + c;Y_a = -bX_a/2 + bX_a + c;Y_a = bX_a/2 + c;решение для c: c = Y_a - bX_a/2.

Теперь включите это в уравнение для другой известной точки: y = (-b/2X_2)x^2 + bx + Y_a - bX_a/2;y = -bX_a/2 + bx + Y_a - bX_a/2;y = -bX_a + bx + Y_a;решить для б: bx - bX_a = y - Y_a;b(x - X_a) = y - Y_a;b = (y - Y_a) / (x - X_a).

И теперь у вас есть формулы для трех параметров квадратичной функции (с a и c в зависимости от b), так что вы можете легко получить параметрическую форму.