Как и devio , вы должны использовать HttpWebRequest. Я сделал грязный тест, чтобы проверить это.
Подготовить куки для отправки. Я сделал доступным для всего localhost:
HttpWebRequest rq = (HttpWebRequest)WebRequest.Create("http://localhost/test.php");
rq.CookieContainer = new CookieContainer();
rq.CookieContainer.Add(new Cookie("test", "xxxx", "/", "localhost"));
Ваш скрипт должен устанавливать куки, чтобы сделать их доступными в ответ. И вы могли бы использовать их.
HttpWebResponse resp = (HttpWebResponse)rq.GetResponse();
foreach(var c in resp.Cookies)
{
Debug("{0}: {1}", c.Name, c.Value);
}