Я пытаюсь написать приложение для Facebook, которое получает IP-адрес пользователя, насколько он знает, возможно ли это?
Конечно, поскольку ваше приложение на Facebook представляет собой обычный серверный скрипт (например, PHP), вы можете использовать $_SERVER var для доступа к IP-адресу клиента.(если вы имели в виду PHP, отметьте здесь http://php.net/manual/en/reserved.variables.server.php на REMOTE_ADDR)
PHP
$_SERVER
REMOTE_ADDR