Почему подстановка результата Solve [] не дает ожидаемого результата?

Question

У меня есть эта матрица

a = {{2, -2, -4}, {-2, 5, -2}, {-4, -2, 2}}

Затем я решил уравнение с одной отсутствующей записью.Уравнение имеет вид Inverse [p] .ap == q, где p - матрица 3x3 с отсутствующей записью (x5), а q - заданная матрица 3x3.

Solve[Inverse[( {
      {1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -2/3},
      {-2/Sqrt[5], 2/(3 Sqrt[5]), -2/6},
      {0, x5, -2/3}
     } )].a.( {
     {1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -2/3},
     {-2/Sqrt[5], 2/(3 Sqrt[5]), -2/6},
     {0, x5, -2/3}
    } ) == ( {
    {6, 0, 0},
    {0, 6, 0},
    {0, 0, -3}
   } )]

Mathematica может решить эту проблему легкои я получаю x5 -> - (Sqrt [5] / 3) в результате.Однако, если я проверю это, результат будет очень странным:

In[2]:= Inverse[( {
    {1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -2/3},
    {-2/Sqrt[5], 2/(3 Sqrt[5]), -2/6},
    {0, -Sqrt[5]/3, -2/3}
   } )].a.( {
   {1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -2/3},
   {-2/Sqrt[5], 2/(3 Sqrt[5]), -2/6},
   {0, -Sqrt[5]/3, -2/3}
  } )

Out[2]= {{6/5 - (2 (-(2/Sqrt[5]) - 2 Sqrt[5]))/Sqrt[5], 
  8/5 + (2 (-(2/Sqrt[5]) - 2 Sqrt[5]))/(3 Sqrt[5]), -(4/Sqrt[5]) + 
   1/3 (2/Sqrt[5] + 2 Sqrt[5])}, {-((
    2 (-(8/(3 Sqrt[5])) + (4 Sqrt[5])/3))/Sqrt[5]) + (
   4/(3 Sqrt[5]) + (4 Sqrt[5])/3)/Sqrt[5], 
  10/3 + (2 (-(8/(3 Sqrt[5])) + (4 Sqrt[5])/3))/(3 Sqrt[5]) + (
   4 (4/(3 Sqrt[5]) + (4 Sqrt[5])/3))/(3 Sqrt[5]), (4 Sqrt[5])/3 + 
   1/3 (8/(3 Sqrt[5]) - (4 Sqrt[5])/3) - 
   2/3 (4/(3 Sqrt[5]) + (4 Sqrt[5])/3)}, {0, 0, -3}}

ожидаемый результат должен быть

( {
  {6, 0, 0},
  {0, 6, 0},
  {0, 0, -3}
 } )

, как в уравнении.Если я вычислю это вручную, я получу этот результат.Что мне здесь не хватает?

Answer 1

Просто Simplify или Expand результаты.

Вот пример:

In[1]:= a = {{2, -2, -4}, {-2, 5, -2}, {-4, -2, 2}}
Out[1]= {{2, -2, -4}, {-2, 5, -2}, {-4, -2, 2}}

In[2]:= p = {{1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -(2/3)}, {-(2/Sqrt[5]), 2/(
   3 Sqrt[5]), -(2/6)}, {0, x5, -(2/3)}}

Out[2]= {{1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -(2/3)}, {-(2/Sqrt[5]), 2/(
  3 Sqrt[5]), -(1/3)}, {0, x5, -(2/3)}}

In[3]:= sol = 
 Solve[Inverse[p].a.p == {{6, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, -3}}]

Out[3]= {{x5 -> -(Sqrt[5]/3)}}

In[4]:= Inverse[p].a.p /. sol[[1]]
Out[4]= <big output removed>

In[5]:= Simplify[%]
Out[5]= {{6, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, -3}}

Expand тоже будет работать вместо Simplify.Выражения в терминах корней и дробей часто можно записать несколькими способами, и не сразу очевидно, эквивалентны ли два выражения, просто взглянув на них.Вы должны явно попросить Mathematica преобразовать их, например, expr = 13/(2 Sqrt[3]) - 4/3 и Together[expr].

---

Что довольно странно, хотя , это то, что Solve не работает, еслиВы используете стандартный синтаксис и даете переменные явно:

In[6]:= Solve[Inverse[p].a.p == {{6, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, -3}}, x5]

Out[6]= {}

In[7]:= Solve[
 Inverse[p].a.p == {{6, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, -3}}, x5, 
 VerifySolutions -> False]

Out[7]= {}

Может кто-нибудь объяснить, почему?NSolve работает как положено.

In[8]:= NSolve[
 Inverse[p].a.p == {{6, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, -3}}, x5]

Out[8]= {{x5 -> -0.745356}}

Answer 2

Remove["Global`*"];
a = {{2, -2, -4}, {-2, 5, -2}, {-4, -2, 2}};
p = {{1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -2/3}, {-2/Sqrt[5], 
    2/(3 Sqrt[5]), -2/6}, {0, x, -2/3}};
pInv = Inverse[p];
lhs = pInv.a.p;

q = {6, 6, -3};
eqs = N@Expand@
   Map[Total[lhs[[#, All]]] - q[[#]] == 0 &, Range[Length[q]]]

Вот три уравнения, все в х.(3 уравнения, ОДНО неизвестно!)

-6. - 2.66667/(-0.444444 + 0.745356 x) + (4.47214 x)/(-0.444444 + 0.745356 x) == 
  0., 

-6. - 2.66667/(-0.444444 + 0.745356 x) + (4.47214 x)/(-0.444444 + 0.745356 x) == 0., 

 3. - 0.654283/(-0.444444 + 0.745356 x) -(1.5694 x)/(-0.444444 + 0.745356 x) + (
   4.47214 x^2)/(-0.444444 + 0.745356 x) == 0.

сначала решить численно

 Map[NSolve[eqs[[#]],x]&,Range[3]]

 Out[465]= {{{x->0.}},{{x->0.}},{{x->-0.745356}}}

Чтобы получить решение, чтобы принять x, сначала не делать числовых, оставьте его символическим:

eqs = Expand@ Map[Total[lhs[[#, All]]] - q[[#]] == 0 &, Range[Length[q]]]

, что дает

{-6 - 8/(3 (-(4/9) + (Sqrt[5] x)/3)) + (2 Sqrt[5] x)/(-(4/9) + (Sqrt[5] x)/3) == 
  0, 

-6 - 8/(3 (-(4/9) + (Sqrt[5] x)/3)) + (2 Sqrt[5] x)/(-(4/9) + (Sqrt[5] x)/3) == 0, 

 3 + 4/(3 (-(4/9) + (Sqrt[5] x)/3)) - (8 Sqrt[5])/(9 (-(4/9) + (Sqrt[5] x)/3)) 
 + (2 x)/(3 (-(4/9) + (Sqrt[5] x)/3)) - (
   Sqrt[5] x)/(-(4/9) + (Sqrt[5] x)/3) + (
   2 Sqrt[5] x^2)/(-(4/9) + (Sqrt[5] x)/3) == 0}

Теперь используйте Solve с явным x там, теперь все в порядке

Map[Solve[eqs[[#]], x] &, Range[3]]

{{{}}, {{}}, {{x -> -(Sqrt[5]/3)}}}

- Nasser