Для проверенных элементов списка установлено
this.ListView1.CheckBoxes = true;
Для обработки двойного щелчка необходимо зарегистрировать событие двойного щелчка в представлении списка
this.listView1.DoubleClick += new System.EventHandler(this.listView1_DoubleClick);
private void listView1_DoubleClick(object sender, EventArgs e)
{
//do something ...
}