Что касается исправления вашего кода, вам нужно изменить $('.selected').appendTo('.custom-select span');
на $('.custom-select span').html($('.custom-select ul li.selected').html());
http://jsfiddle.net/dg7Lc/13/
В списках выбора есть особенность в том, что они оформляются браузером /ОС и имеет несколько действий onclick / onblur и сложных действий при нажатии и нажатии других клавиш.
С учетом сказанного, вы, возможно, захотите заглянуть в плагин jquery selectbox.Я очень рекомендую https://github.com/fnagel/jquery-ui, так как я считаю, что он наиболее согласован во всех браузерах, но при этом действует точно так же, как selectbox.
Их код сложный (например, наличие скрытого поля выбора позади отображаемого), но это все необходимо.Исходя из моего личного опыта, этот плагин очень легко разрабатывается и настраивается.