chkBackup.Checked будет содержать false, если флажок снят, поэтому вы всегда можете использовать chkBackup.Checked, чтобы получить то, что вам нужно. Следующий код должен быть всем, что вам когда-либо нужно -
private void chkBackup_CheckChanged(object sender, EventArgs e)
{
Properties.Settings.Default.Backup = chkBackup.Checked;
Properties.Settings.Default.Save();
}