Из того, что я вижу, все, что делает ваш класс Палиндром, проверяет, является ли строка палиндромом. Очевидно, вам не нужен частный приятель String для такого класса.
На самом деле, вы должны сделать этот класс утилитарным классом и вместо этого иметь статический метод, подобный этому -
public static boolean isPalindrome(String string)
{
// your logic here.
}
Затем вы можете вызвать этот метод следующим образом -
String string = "aabaa";
boolean isPalindrome = Palindrome.isPalindrome(string);
Нет абсолютно никакой необходимости иметь переменную экземпляра, такую как pal, если весь ваш класс проверяет, является ли строка палиндромом.