Не существует действительно безопасного способа защитить ваш пароль, если вы вообще добавите его в свое приложение. Наименьшее, что нужно сделать, это создать отдельный аккаунт, чтобы он не связывался с вашим реальным аккаунтом.
Кроме того, я бы рекомендовал вообще не использовать этот подход. Использование встроенного почтового приложения не так уж и плохо. Таким образом, пользователь узнает, что он вносит свой вклад в улучшение вашего приложения, и это хорошо.
Третья возможность - создание веб-страницы для отправки ошибок и отправки HTTP-запроса в ваше приложение при возникновении ошибки. Тем не менее, сообщите пользователю об этом, потому что в противном случае он может подумать, что вы шпионите за ним.
И еще, есть встроенный механизм оповещения о сбоях Android, так что вам вообще ничего не нужно делать.