Программно ограничить себя определенным NIC можно, вызвав bind()
с IP-адресом NIC после создания сокета, но перед подключением. Если вы пропустите этот шаг, интерфейс sockts будет использовать локальный IP-адрес 0.0.0.0 («любой») и номер локального порта 0 («любой»).
Я не верю, что в Chrome, FireFox или MSIE есть какая-либо опция для поддержки этого. Вы всегда можете взять исходный код, изменить его и скомпилировать самостоятельно. (Не весело, я знаю.)
Или, как говорит г-н Мус, вы можете запустить локальный http-прокси и изменить его код для привязки исходящих подключений к желаемой сетевой карте.
Обновление таблицы маршрутизации, вероятно, проще всего, даже если это не совсем то, что вам нужно.