Эти заголовки контроля доступа работают только тогда, когда они отправляются API, а не клиентом. В конце концов, именно API нужно защищать от клиента, а не наоборот.
Если API parse не изменит свои заголовки, вам придется использовать такие методы, как JSONP или прокси на стороне сервера.