У вас есть все необходимое для ответа на ваш вопрос ...
Сочетание этого:
string up = string.Format("updates-{0:dd-MM-yyyy}.txt", DateTime.Now);
с этим:
System.Diagnostics.Process.Start("notepad.exe", "update.txt");
следуетпозвольте вам придумать это:
string up = string.Format("updates-{0:dd-MM-yyyy}.txt", DateTime.Now);
System.Diagnostics.Process.Start("notepad.exe", up);