Ajax означает «Отправка данных и / или получение данных с сервера, не покидая страницу с использованием JavaScript»
jQuery - это библиотека JavaScript.
Вы не можете выбрать между ими, поскольку это все равно, что выбирать между «Путешествие» и «Боинг» (Boeing производит продукты, которые помогают вам путешествовать. Другие компании делают тоже. Вы можете путешествовать без использования продуктов сделанный любой компанией. Боинг делает вещи, не связанные с путешествием).
Если у вас много данных (т. Е. Слишком много, чтобы загрузить все на страницу впереди), то вы захотите использовать Ajax для их извлечения. Если у вас нет такого большого количества данных, вы можете просто встроить их в свой скрипт и не беспокоиться о том, чтобы делать HTTP-запросы, чтобы получить их с помощью методов Ajax (это будет стоить во время загрузки, но сделает скрипт намного проще).
Если вы хотите изменить данные в элементе выбора на основе данных, выбранных в предыдущем, тогда библиотека JavaScript может сэкономить некоторые хлопоты, но может не стоить дополнительного веса страницы (хотя, если вы делаете много вещей с JS тогда усилия будут складываться до тех пор, пока не стоило бы использовать библиотеку с самого начала).
Если вы хотите использовать Ajax, то в браузере достаточно различий, чтобы библиотека JS, вероятно, стоила бы такого веса. Что касается библиотек, то jQuery разумен и популярен.