Чтобы получить вашу кнопку в событии нажатия:
Button clickedButton = (Button)sender;
Чтобы получить родительский элемент для вашей кнопки (если это был SplitContainer, вам нужно будет использовать свойство Parent 3 раза, поскольку первое из них будетполучите свой UserControl, вторая - левая панель SplitPanel, у которой нет свойства Name, третья - ваша SplitPanel, и четвертая, если хотите, имя вашей формы)
string splitPanemName = clickedButton.Parent.Parent.Parent.Name;
...или вы можете просто получить весь объект SplitPanel:
SplitPanel currentSplitPanel = (SplitPanel)clickedButton.Parent.Parent.Parent;
... или объект формы:
Form currentSplitForm = (Form)clickedButton.Parent.Parent.Parent.Parent;
Чтобы сделать это, вы должны быть уверены в составе вашей формы,так что вы можете получить правильный контроль в нужном месте.