Как я уже говорил в другом месте, именно так ведет себя LinkedIn, используете ли вы API или нет. Вы можете отправлять сообщения только первой степени.
Существует функция InMail, которая позволяет обмениваться сообщениями за пределами вашей сети первой степени, но это платный продукт. Вас это интересует?
Или другой вариант - заставить человека между отправителем и получателем согласиться «передать сообщение». Это не доступно через API, однако.
Это все, что я здесь говорю, так как мы сейчас находимся за рамками технических вопросов.