Существует обходной путь, отправляющий запрос AJAX (который работает внутри JS и не вызывает всплывающее окно) из формы:
$.ajax({
type: 'POST',
url: 'login.php'
username: $('input#user').value, // form fields
password: $('input#pw').value,
});
Браузер хранит кэшированные учетные данные для последующих обычных запросов GET.
(Выход из HTTP-аутентификации значительно сложнее.)