В файле делегата приложения импортируйте SQLiteDB.h, затем вызовите
SQLiteDB *db = [SQLiteDB sharedSQLiteDB];
Это то, что вы имели в виду?
Вы объявили sharedSQLiteDB
как метод класса (этот начальный + знак), поэтому вы вызываете его в классе (как указано выше). Ваш вызов checkIfDatabaseExists предполагает, что это метод экземпляра (объявленный с -).
Я бы предложил назвать ваш статический экземпляр SQLiteDB начальным _ или чем-то, чтобы отличить его от метода с именем sharedSQLiteDB. В противном случае это сбивает с толку.
Я что-то упустил или это помогает?