Отсутствует {
после вашего оператора if:
if ($("input[@name='customer']:checked").val() == "new") {
$("#new-customer").show();
$("#existing-login").hide();
} else {
$("#existing-login").show();
$("#new-customer").hide();
}
Кроме того, синтаксис @
для выбора атрибутов больше не поддерживается в текущих версиях jQuery, поэтому также удалите его:
if ($("input[name='customer']:checked").val() == "new") {