Экстраполированная скорость роста базы пользователей линейная + вирусная

Question

Предположим, у вас есть n пользователей и вы знаете, что n увеличивается на фиксированное количество пользователей c в день и скорость роста вируса k в день, где k выражается в процентах n .

Как вы можете определить, сколько дней потребуется, чтобы база пользователей выросла до размера x , где x > n ?

Это сложная процентная проблема, но я не знаю, как это сделать с добавлением постоянного фактора c .

Answer 1

Предполагая, что вы не возражаете против дробных пользователей ... Если k выражено в виде десятичной дроби (таким образом, скорость роста 5% составляет k = 1,05), то формулаэто:

дней = log _k (((1- k ) x - c ) / ((1- k ) n - c ))

Например, предположим, что ваша начальная база пользователей 5;вы постоянно растете на 3 пользователя в день, а вирусные на 5% в день;и ваша цель 35 пользователей.Тогда

дней = log _1,05 (((- 0,05) * 35 - 3) / ((-0,05) * 5 - 3)) = 7,78 .

Запустив процесс в Excel, вы можете видеть, что на самом деле в день 7 вы получаете 31,5 пользователей, а в день 8 36 пользователей.

Происхождение:

Обозначениеколичество пользователей после d дней как n_d .Тогда:

n ₁ = kn + c

n ₂ = kn ₁ + c = k ( kn + c ) + c = k ² n + ( k + 1) c

n ₃ = kn ₂ + c = k ( k ² n + ( k + 1) c ) + c = k ³ n + ( k ² + k + 1) c

...

n _d = k ^d n + SUM _{i = 0, d -1} ( k ⁱ c )

Теперь сумма представляет собой геометрическую серию.Сумма этого геометрического ряда легко выводится (или находится в Википедии!) И составляет c (1 - k ^d ) / (1 - )k ).

Итак:

n _d = k ^d n + c (1 - k ^d ) / (1 - k )

= k ^d n + c / (1 - k ) - ck ^d / (1 - k )

= k ^d ( n - c / (1 - k )) + c / (1 - k )

То есть

k ^d = ( n _d - c / (1 - k )) / ( n - c / (1 - k ))

= ((1 - k ) n _d - c ) / ((1 - k ) n - c )

Итак

d = log _k (((1 - k ) n _d - c ) / ((1 - k ) n - c ))