Есть ли способ получить доступ к API поиска Google, с его хранилищем скриншотов веб-сайта?
Боюсь, что нет.
Даже для скриншотов веб-сайта Google, похоже, использует другие сервисы. Проверьте URL2PNG нижний колонтитул сайта, они, как утверждают, доверяют командам Google, а также Twitter, GitHub и т. Д.