Попробуйте при перетаскивании удерживать нажатой клавишу ALT, CTL или SHIFT (я забыл). Я считаю, что это меняет поведение курсора по умолчанию с вырезать -> копировать.
Вы можете установить действие по умолчанию для Drop в вашем компоненте JText, чтобы разрешить только копирование, я знаю, вы можете сделать это в SWT.