Если файл небольшой, вы можете читать и писать в две строки кода.
var myString = File.ReadAllText("c:\\test.txt");
File.AppendAllText("c:\\test2.txt", myString);
Если файл очень большой, вы можете читать и писать построчно:
using (var source = new StreamReader("c:\\test.txt"))
using (var destination = File.AppendText("c:\\test2.txt"))
{
var line = source.ReadLine();
destination.WriteLine(line);
}