Насколько я вижу, strptime - единственная функция php, которая принимает дату в виде строки, и формат даты , с возвращенным массивом вы можете сгенерировать метку времени.
Например:
$timeArr = strptime($date_start ,"DD/MM/YY");
$timestamp = mktime(0, 0, 0, $timeArr['tm_mon']+1, $timeArr['tm_mday'], $timeArr['tm_year']);
$date_start_form = date("Y-m-d", $timestamp);
или вы можете построить строку напрямую, например:
$timeArr = strptime($date_start ,"DD/MM/YY");
$date_start_form = sprintf(%d-%d-%d, $timeArr['tm_year'], $timeArr['tm_mon']+1, $timeArr['tm_mday']);
Хотя, подумав об этом, вы можете просто рассматривать дату поступления как строку, которую нужно переставитьи игнорируйте тот факт, что это дата, например:
$timeArr = explode($date_start ,"/");
$date_start_form = sprintf(%d-%d-%d, $timeArr[2], $timeArr[1], $timeArr[0]);