Используйте регулярное выражение, а затем из найденного массива можно найти количество совпадений.Это наивный подход с использованием регулярных выражений.
'fat cat'.match(/at/g).length
Для защиты от случаев, когда строка не совпадает, используйте:
( 'fat cat'.match(/at/g) || [] ).length