Нахождение полного разложения QR от уменьшенного QR

Question

Какой лучший способ найти дополнительные ортонормированные столбцы Q? Я уже вычислил сокращенную декомпозицию QR, но мне нужна полная декомпозиция QR.

Я предполагаю, что есть стандартный подход к этому, но у меня были проблемы с его поиском.

Вы можете спросить, зачем мне нужна полная матрица Q? Я использую его, чтобы применить матрицу ограничений для «естественных» сплайнов к усеченному расширению базиса степенных рядов. Я делаю это на Java, но ищу независимый от языка ответ.

Answer 1

Последовательно добавьте столбцы в Q следующим образом:

1. Выберите вектор, который еще не находится в диапазоне Q
2. Ортогонализируйте его относительно столбцов Q
3. Добавьте ортогонализированный вектор в качестве нового столбца Q.
4. Добавьте строку нулей в конец R

Для справки см. эти иллюстративные, хотя и математическиепримечания к лекции

На всякий случай, процесс "ортогонализации" нового вектора является старой техникой, называемой процессом Грамма-Шмидта, и существует вариант , который численностабильный.