Вы можете сделать это очень легко с помощью jQuery.
Когда вы нажимаете «галочку», отправляется AJAX-запрос, а затем в таблицу добавляется новая строка.
Если у вас уже есть PHP-код для добавления записи в вашу базу данных mySQL, это всего лишь вопрос изучения jQuery.
На сайте jQuery много учебников. Здесь - хороший учебник по базовому AJAX.