Создайте стиль с помощью CSS и используйте события указателя:
<label>
<select>
<option value="0">Zero</option>
<option value="1">One</option>
</select>
</label>
и относительный CSS равен
label:after {
content:'\25BC';
display:inline-block;
color:#000;
background-color:#fff;
margin-left:-17px; /* remove the damn :after space */
pointer-events:none; /* let the click pass trough */
}
используйте блок с фоновым изображением, если хотите, я просто использую стрелку вниз здесь. Вот пример уродливой скрипки: https://jsfiddle.net/1rofzz89/