Ну, во-первых, я не думаю, что вы правильно вызываете базовый конструктор, вам нужно сделать это:
public MyDbContext(string connectionString) : base(connectionString)
{
}
Или, если вы не хотите передавать строку подключения, вам нужно использовать существующую переменную строки подключения:
static string connectionString = // your string here
public MyDbContext() : base(connectionString) { }
Чего же вы хотите добиться в целом, есть ли необходимость переопределить ObjectContext следующим образом?
База данных, на которую ссылается EF, указана в свойствах источника данных и исходного каталога строки подключения. Свойство Data Source определяет, на какой экземпляр sql ссылаться.