Поскольку в каждом примере, который я нашел в Интернете, использовался устаревший код (метод addFocusListener), я в итоге выяснил, что вместо этого использовал метод addFocusHandler.
Вот как это было сделано:
mySuggestBox.getTextBox().addFocusHandler(new FocusHandler() {
@Override
public void onFocus(FocusEvent event) {
mySuggestBox.getTextBox().selectAll();
}
});