Ваш обратный вызов сделан в другом контексте, вам нужно сделать:
componentDidMount(){
this._getLocationAsync();
firebase.database().ref('pets/').once('value', function (snapshot) {
this.setState({ testdid: snapshot.val().name })
}.bind(this)); // bind to current context
}
или с ES6, который я предпочитаю
componentDidMount(){
this._getLocationAsync();
firebase.database().ref('pets/').once('value', snapshot => { // Using Fat Arrow
this.setState({ testdid: snapshot.val().name })
});
}