Функции Azure используют модель выполнения, в которой может быть несколько одновременных выполнений нескольких функций в одном процессе. Если в этом процессе определена статическая переменная, на которую ссылаются несколько функций, то эта статическая переменная будет повторно использоваться при выполнении этих функций.
Для таких типов, как HttpClient, такое поведение часто желательно. Как правило, вы захотите повторно использовать один и тот же экземпляр HttpClient для нескольких выполнений функции, поскольку это позволяет повторно использовать базовое соединение, а HttpClient является потокобезопасным. Я не знаком с RestClient, вам нужно будет провести собственное исследование того, безопасен ли он для потоков.
Если вам нужно настроить клиентские объекты с конкретными настройками для каждого домена, с которым вы разговариваете, то вам, вероятно, потребуется создать статический словарь клиентов, содержащий по одному клиенту на домен.