Ваш вопрос слишком широкий, поэтому разбейте его на шаги и постарайтесь показать свои попытки. Первый бит, ajax для отправки данных формы на сервер, будет выглядеть примерно так:
$ (function () {
$('#formId :checkbox').change(function() {
$.ajax({
url : "/your-url/",
data: $("#formId").serialize(),
type : "GET",
success : function(html) {
console.log("success");
do_something_on_success(html);
}.bind(this),
error : function(xhr,errmsg,err) {
console.log("error");
}.bind(this)
});
})
})