Кликает, но скриншот сделан слишком рано, пока не появится новый блок. Вы можете подождать еще некоторое время или подождать, пока блок будет создан и станет видимым:
await page.click(BUTTON_SELECTOR)
await page.waitFor(2000);
await page.screenshot({ path: 'image.png' });
или
await page.click(BUTTON_SELECTOR)
await page.waitForSelector('div.reply-info aside.reply-flap', { visible: true });
await page.screenshot({ path: 'image.png' });