Хорошо, я получил решение, просто нужно выяснить идентификатор потока, который я хочу использовать, и привязать его к трансляции
$stream_id='ls7ACzSkqopkYLg2N3ghmQ15498827578945';
$bindBroadcastResponse = $youtube->liveBroadcasts->bind(
$broadcastsResponse['id'],'id,contentDetails',
array(
'streamId' => $stream_id,
));