Обрабатывайте «флажок» как логическое значение, а не как строку.
Вы можете просто инвертировать его, как в
element = document.getElementById("check")
element.checked = !element.checked
Более показательный пример:
var $toggle = document.getElementById('toggle');
var $checkbox = document.getElementById('checkbox');
var toggle_checkbox = function() {
$checkbox.checked = !checkbox.checked;
}
$toggle.addEventListener('click',toggle_checkbox);
<label>
Checkbox:
<input id="checkbox" type="checkbox" checked />
</label>
<button id="toggle">Toggle</button>