У меня была такая же проблема! Я решил это, используя selectedValue вместо selectedItem и передавая значение pickerItem.
Это мой код:
<Picker style={{flex: 1, width: 150, height: 180}}
itemStyle={{color: 'black', fontSize: 26}}
selectedValue={this.state.minutes[this.state.indexSelected]}
onValueChange={(index) => {this.setState({indexSelected: index})}}>
{this.state.minutes.map((value, i) => (<PickerItem label={value} value={i} key={i}/>))}
</Picker>