Вам нужно будет создать промежуточное веб-приложение, которое будет взаимодействовать с базой данных.Затем вы можете выполнять вызовы AJAX из расширения в API вашего веб-приложения, которое, в свою очередь, будет запрашивать базу данных и возвращать результаты.
Расширение Chrome → API веб-приложения → MySQL
Подробнееинформация о Chrome AJAX API здесь
Подобный вопрос, как у вас, был решен, посмотрите его здесь .