У вас не может быть запроса AJAX, открывающего приглашение на загрузку, поскольку вам физически необходимо перейти к файлу, чтобы запросить загрузку. Вместо этого вы можете использовать функцию успеха, чтобы перейти к download.php. Откроется окно загрузки, но текущая страница не изменится.
$.ajax({
url: 'download.php',
type: 'POST',
success: function() {
window.location = 'download.php';
}
});