UIElement - это элемент самого низкого уровня, который поддерживает ввод и рисование. Хотя, используя WPF, вам действительно нужно гораздо меньше рисовать вручную. Вы уверены, что вам нужно это сделать? Кроме того, полоса прокрутки никогда не будет наследоваться в вашем элементе. Если вам нужно поведение прокрутки, просто оберните ваш элемент в ScrollViewer.