Возможно, используйте своего рода кеш, независимо от того, включен ли Twitter или нет. Записывайте неверные ответы от API в базу данных или файл на стороне сервера. Как только вы получите два / три / несколько других недопустимых ответов подряд, отключите все запросы к API на х количество времени.
Через x времени попытайтесь выполнить запрос, если он все еще не работает, снова отключите на x минут.
Если ваш сервер может запускать задания CRON, рассмотрите возможность создания скрипта, который проверяет API на предмет правильного ответа каждые несколько минут. Если он обнаружит, что он не работает, отключите запросы, пока он не будет восстановлен. По крайней мере, в этом случае сервер будет выполнять тестирование, и пользователи не должны быть морскими свинками.