Ваш синтаксис для ОБНОВЛЕНИЕ неверен.
$query = "UPDATE name, surname, email, password SET name='$tempName', surname='$tempSurname', email = '$email', password='$tempNewPass' WHERE email='$email'";
Он должен выглядеть следующим образом:
$query = "UPDATE table_name SET column1='value1', column2='value2' WHERE columnX='valueX'";
Для предоставленного вами кода запрос будет выглядеть следующим образомthis:
$query = "UPDATE users SET name='$tempName', surname='$tempSurname', password='$tempNewPass' WHERE email='$email'";
У вас есть другой недостаток в коде при тестировании, если запрос на обновление был успешным.
$result = mysql_query($conn,$query);
if(mysqli_query($conn, $result)){
Должно быть что-то вроде:
$result = mysqli_query($conn, $query);
if ($result) {
Примечание: Как отмечено в комментариях ... Ваш код уязвим.Вы действительно должны прочитать о SQL-инъекциях и о том, как их предотвратить!