Я проверил на своем iPhone, и на некоторой тестовой странице со следующим содержимым iPhone спрашивает, должен ли он сохранить пароль и запомнить его при следующем посещении страницы.
x.html
<form action="x.html" method="POST">
<input type="text" name="username" id="username" />
<input type="password" name="password" id="password" />
<select>
<option value="1">option1</option>
<option value="2">option2</option>
</select>
<input type="checkbox" name="rememberMe" id="rememberMe" />
<input type="submit" value="Login" />
</form>
Таким образом, в основном это то же самое, что и у вас, за исключением того, что кнопка имеет тип «submit» вместо «button» и что вокруг всего фрагмента кода есть теги формы.