Глядя на ваш код, я думаю, что это проблема с начальным значением, которое вы устанавливаете на selectedTime
this.selectedTime = moment().format("LT");
TimePicker работает с объектом Date, но вы устанавливаете начальное значение в строку, используя Date, чтобы v-модель функционировала так, как ожидалось
this.selectedTime = moment().toDate();