Если я правильно понял вашу проблему, вы хотите загрузить WebView, а затем снова выполнить приложение после выполнения некоторых действий.
Существует способ обмена данными между вашим приложением и WebView.Пожалуйста, проверьте эту статью.
Вы также можете использовать WebView's onNavigationStateChange для достижения своей цели, если завершение работы сигнализируется изменением URL.
<WebView
onNavigationStateChange={this.yourAction}
/>