Двоичное представление натурального числа

Question

Чтобы получить двоичное представление из натурального числа, такого как 20, мы делим это число на 2 и так далее, пока мы не сможем больше делить на 2.Чтобы получить двоичное представление из десятичного числа, такого как 0,4512, мы умножаем это число на 2 повторных раза.

Каково логическое объяснение, почему с этими двумя системами мы получаем двоичное представление?

Спасибо

Answer 1

Он основан на том факте, что числа закодированы в двоичном виде.

Если число A является целым числом, A переписывается как A = & sum; _{i = 0} ^n-1 a _я & времена; 2 ^г = а _п-1 & времена; 2 ^N-1 + а _п-2 & времена; 2 ^п-2 + ... а ₁ & раз; 2 + а ₀ * * тысяча двадцать семь

, где _i = 0 или 1.

Легко видеть, что A четно, a ₀ = 0, а если оно нечетно, a ₀ = 1. Итак, у нас уже есть младший значащий бит a ₀ .

Теперь, если мы разделим А на два, ₀ исчезнет, ​​и мы получим А / 2 = а _{п-1 * +1044 * & времена; 2 ^п-2 + а п-2 & времена; 2 ^п-3 + ... + а 2 & раз; 2 + а 1}

Мы можем определить таким образом ₁ в зависимости от четности A / 2. и мы продолжаем, мы получаем все биты А.

Дробные числа выражены согласно отрицательным степеням 2. Если A = 0.a _-1 a _-2 ... a _-n , А = а _{-1 * 1 068 * / 2 + а * +1069 * -2} / 4 + ... + а * * -n тысяча семьдесят-одна / 2 ^ * п * одна тысяча семьдесят-три

Если мы умножим это на два, 2 раза; A = a _-1 + a _-2 / 2 + ... + a _-n / 2 ^ ^п-1 . Если 2 & times; A & geq; 1, мы должны иметь a-1 = 1, в противном случае a-1 = 0. И мы можем определить другие биты аналогичным способом по последовательному умножению на два.